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二分搜索

二分搜索模板

给一个有序数组和目标值，找第一次/最后一次/任何一次出现的索引，如果没有出现返回-1

模板四点要素

  • 1、初始化：start=0、end=len-1
  • 2、循环退出条件：start + 1 < end
  • 3、比较中点和目标值：A[mid] ==、 <、> target
  • 4、判断最后两个元素是否符合：A[start]、A[end] ? target

时间复杂度 O(logn)，使用场景一般是有序数组的查找

典型示例

binary-search

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

// 二分搜索最常用模板intsearch(vector<int>&nums, inttarget) {
intstart=0, end=nums.size() -1;
while(start+1<end){
intmid=start+ (end-start) / 2;
if(nums[mid] ==target){
end=mid;
}elseif(nums[mid] <target){
start=mid;
}else{
end=mid;
}
}
if(nums[start] ==target){
returnstart;
}
if(nums[end] ==target){
returnend;
}
return-1;
}

大部分二分查找类的题目都可以用这个模板，然后做一点特殊逻辑即可

另外二分查找还有一些其他模板如下图，大部分场景模板#3 都能解决问题，而且还能找第一次/最后一次出现的位置，应用更加广泛

binary_search_template

所以用模板#3 就对了，详细的对比可以这边文章介绍：二分搜索模板

如果是最简单的二分搜索，不需要找第一个、最后一个位置、或者是没有重复元素，可以使用模板#1，代码更简洁

// 无重复元素搜索时，更方便funcsearch(nums []int, targetint) int {
start :=0end :=len(nums) -1forstart <= end {
mid :=start+ (end-start)/2ifnums[mid] ==target {
returnmid
} elseifnums[mid] <target {
start=mid+1
} elseifnums[mid] >target {
end=mid-1
}
}
// 如果找不到，start 是第一个大于target的索引// 如果在B+树结构里面二分搜索，可以return start// 这样可以继续向子节点搜索，如：node:=node.Children[start]return-1
}

常见题目

search-for-range

给定一个包含 n 个整数的排序数组，找出给定目标值 target 的起始和结束位置。 如果目标值不在数组中，则返回[-1, -1]

思路：核心点就是找第一个 target 的索引，和最后一个 target 的索引，所以用两次二分搜索分别找第一次和最后一次的位置

vector<int>searchRange(vector<int>&nums, inttarget) {
vector<int>res{-1, -1};
if(nums.empty()) returnres;
intbegin=0, end=nums.size() -1;
while(begin+1<end){
intmid=begin+ (end-begin) / 2;
if(nums[mid] <target){
begin=mid;
}elseif(nums[mid] >target){
end=mid;
}else{
// 如果相等，应该继续向左找，就能找到第一个目标值的位置end=mid;
}
}
// 搜索左边的索引if(nums[begin] ==target){
res[0] =begin;
}elseif(nums[end] ==target){
res[0] =end;
}else{
returnres;
}
begin=0;
end=nums.size() -1;
while(begin+1<end){
intmid=begin+ (end-begin) / 2;
if(nums[mid] <target){
begin=mid;
}elseif(nums[mid] >target){
end=mid;
}else{
// 如果相等，应该继续向右找，就能找到最后一个目标值的位置begin=mid;
}
}
// 搜索右边的索引if(nums[end] ==target){
res[1] =end;
}elseif(nums[begin] ==target){
res[1] =begin;
}else{
returnres;
}
returnres;
}

search-insert-position

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

intsearchInsert(vector<int>&nums, inttarget) {
if(nums.empty()) return0;
// 思路：找到第一个 >= target 的元素位置intbegin=0, end=nums.size() -1;
while(begin+1<end){
intmid=begin+ (end-begin) / 2;
if(nums[mid] >target){
end=mid;
}elseif(nums[mid] <target){
begin=mid;
}else{
// 标记开始位置begin=mid;
}
}
if(nums[begin] >= target){
returnbegin;
}elseif(nums[end] >= target){
returnend;
}elseif(nums[end] <target){
returnend+1; // 目标值比所有值都大
}
return0;
}

search-a-2d-matrix

编写一个高效的算法来判断 m x n 矩阵中，是否存在一个目标值。该矩阵具有如下特性：

  • 每行中的整数从左到右按升序排列。
  • 每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。
boolsearchMatrix(vector<vector<int>>&matrix, inttarget) {
if(matrix.size() ==0||matrix[0].size() ==0) return false;
// 思路：将2纬数组转为1维数组 进行二分搜索introw=matrix.size(), col=matrix[0].size();
intbegin=0, end=row*col-1;
while(begin+1<end){
intmid=begin+ (end-begin) / 2;
intval=matrix[mid/col][mid%col]; // 获取2纬数组对应值if(val<target){
begin=mid;
}elseif(val>target){
end=mid;
}else{
return true;
}
}
if(matrix[begin/col][begin%col] ==target||matrix[end/col][end%col] ==target){
return true;
}
return false;
}

first-bad-version

假设你有 n 个版本 [1, 2, ..., n]，你想找出导致之后所有版本出错的第一个错误的版本。 你可以通过调用 bool isBadVersion(version) 接口来判断版本号 version 是否在单元测试中出错。实现一个函数来查找第一个错误的版本。你应该尽量减少对调用 API 的次数。

intfirstBadVersion(intn) {
intbegin=0, end=n;
while(begin+1<end){
intmid=begin+ (end-begin) / 2;
if(isBadVersion(mid)){
end=mid;
}else{
begin=mid;
}
}
if(isBadVersion(begin)){
returnbegin;
}
returnend;
}

find-minimum-in-rotated-sorted-array

假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。 请找出其中最小的元素。

// 思路：最后一个值作为target，然后往左移动，最后比较start、end的值intfindMin(vector<int>&nums) {
if(nums.size() ==0) return-1;
intbegin=0, end=nums.size() -1;
while(begin+1<end){
intmid=begin+ (end-begin)/2;
if(nums[mid] <= nums[end]){
end=mid;
}else{
begin=mid;
}
}
if(nums[begin] >nums[end]){
returnnums[end];
}
returnnums[begin];
}

find-minimum-in-rotated-sorted-array-ii

假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转 ( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。 请找出其中最小的元素。(包含重复元素)

intfindMin(vector<int>&nums) {
// 思路：跳过重复元素，mid值和end值比较，分为两种情况进行处理if(nums.size() ==0) return-1;
intbegin=0, end=nums.size() -1;
while(begin+1<end){
// 去除重复元素while(begin<end&&nums[end] ==nums[end-1]) end--;
while(begin<end&&nums[begin] ==nums[begin+1]) begin++;
intmid=begin+ (end-begin) / 2;
// 中间元素和最后一个元素比较（判断中间点落在左边上升区，还是右边上升区）if(nums[mid] <= nums[end]){
end=mid;
}else{
begin=mid;
}
}
if(nums[begin] >nums[end]){
returnnums[end];
}
returnnums[begin];
}

search-in-rotated-sorted-array

假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。 ( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。 搜索一个给定的目标值，如果数组中存在这个目标值，则返回它的索引，否则返回 -1 。 你可以假设数组中不存在重复的元素。

intsearch(vector<int>&nums, inttarget) {
if(nums.empty()) return-1;
// 两条上升直线，四种情况判断intbegin=0, end=nums.size() -1;
while(begin+1<end){
intmid=begin+ (end-begin) / 2.0;
if(nums[mid] ==target) returnmid;
// 判断在那个区间，可能分为四种情况if(nums[begin] <nums[mid]){
if(nums[begin] <= target&&target <= nums[mid]){
end=mid;
}else{
begin=mid;
}
}elseif(nums[end] >nums[mid]){
if(nums[end] >= target&&target >= nums[mid]){
begin=mid;
}else{
end=mid;
}
}
}
if(nums[begin] ==target){
returnbegin;
}elseif(nums[end] ==target){
returnend;
}
return-1;
}

注意点

面试时，可以直接画图进行辅助说明，空讲很容易让大家都比较蒙圈

search-in-rotated-sorted-array-ii

假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。 ( 例如，数组 [0,0,1,2,2,5,6] 可能变为 [2,5,6,0,0,1,2] )。 编写一个函数来判断给定的目标值是否存在于数组中。若存在返回 true，否则返回 false。(包含重复元素)

boolsearch(vector<int>&nums, inttarget) {
if(nums.empty()) return false;
//两条上升直线，四种情况判断，并且处理重复数字intbegin=0, end=nums.size() -1;
while(begin+1<end){
// 处理重复数字while(begin<end&&nums[begin] ==nums[begin+1]) begin++;
while(begin<end&&nums[end] ==nums[end-1]) end--;
intmid=begin+ (end-begin) / 2.0;
if(nums[mid] ==target) return true; // 相等直接返回// 判断在那个区间，可能分为四种情况if(nums[begin] <nums[mid]){
if(nums[begin] <= target&&target <= nums[mid]){
end=mid;
}else{
begin=mid;
}
}elseif(nums[end] >nums[mid]){
if(nums[end] >= target&&target >= nums[mid]){
begin=mid;
}else{
end=mid;
}
}
}
if(nums[begin] ==target||nums[end] ==target){
return true;
}
return false;
}

总结

二分搜索核心四点要素（必背&理解）

  • 1、初始化：start=0、end=len-1
  • 2、循环退出条件：start + 1 < end
  • 3、比较中点和目标值：A[mid] ==、 <、> target
  • 4、判断最后两个元素是否符合：A[start]、A[end] ? target

练习题