diff --git a/gdim/11-masstheorie.tex b/gdim/11-masstheorie.tex index 4292724..d870775 100644 --- a/gdim/11-masstheorie.tex +++ b/gdim/11-masstheorie.tex @@ -17,7 +17,7 @@ \subsubsection*{Lebesgue-Integral auf $[a,b] \subset \real$} \addcontentsline{toc}{subsubsection}{Lebesgue-Integral auf \texorpdfstring{$[a,b] \subset \real$}{[a,b] in IR}} Bausteine sind \emph{einfache Funktionen}. -Eine Funktion $\varphi: [a,b] \to \real$ heißt \emph{einfach} $:\Leftrightarrow$ $\varphi$ nimmt nur endlich viele verschiedene Werte an: +Eine Funktion $\varphi\colon[a,b] \to \real$ heißt \emph{einfach} $:\Leftrightarrow$ $\varphi$ nimmt nur endlich viele verschiedene Werte an: \[ \sharp \varphi([a,b]) < \infty. \] Unterschied zu Treppenfunktionen: $\varphi^{-1}(c_k)$ ist im Allgemeinen kein Intervall. @@ -30,10 +30,10 @@ \subsubsection*{Lebesgue-Integral auf $[a,b] \subset \real$} \item Wähle $A_k := f^{-1}([c_{k-1},c_k])$ und setze $\varphi := c_k$ auf $A_k$. \end{enumerate} -Diese Definition überträgt sich sofort auf $f: \real^n \to \real$ und sogar auf auf $f: X \to \real^n$ mit beliebigem merischen Raum $X$. Problem dabei ist die Frage: +Diese Definition überträgt sich sofort auf $f\colon\real^n \to \real$ und sogar auf auf $f\colon X \to \real^n$ mit beliebigem merischen Raum $X$. Problem dabei ist die Frage: \begin{itemize} \item Wie ``lang'' ist $f^{-1}((c_{k-1},c_k))$? - \item Welches ``Volumen'' hat diese Menge? (zum Beispiel $f: \real^3 \to \real^3$) + \item Welches ``Volumen'' hat diese Menge? (zum Beispiel $f\colon\real^3 \to \real^3$) \item Allgemein: Welches \emph{Maß} hat sie? \end{itemize} Ist ein sinnvoller ``Volumen''-Begriff für jede Menge in $\real^n$ überhaupt möglich? Nein! Siehe Banach-Tarski. Aber für eine geeignete Klasse von (sogenannten messbaren) Teilmengen schon. @@ -56,7 +56,7 @@ \subsubsection{Erweiterte Zahlengerade} \end{cases} \] \subsubsection{Äußere Maße} -Sei $X$ eine nichtleere Menge. Eine Funktion $\mu: 2^X \to [0,\infty]$ heißt \emph{äußeres Maß} auf $X$ $:\Leftrightarrow$ +Sei $X$ eine nichtleere Menge. Eine Funktion $\mu\colon2^X \to [0,\infty]$ heißt \emph{äußeres Maß} auf $X$ $:\Leftrightarrow$ \begin{enumerate} \item $\mu(\emptyset) = 0$. \item Monotonie: $A \subset B \subset X\, \Rightarrow \, \mu(A) \le \mu(B)$. @@ -112,7 +112,7 @@ \subsubsection{Borel-Mengen} \end{proof} \subsubsection{Maß und Maßraum} -Sei $(X,\mA)$ ein Messraum. Ein \emph{Maß} auf $\mA$ ist eine Funktion $\mu: \mA \to [0,\infty]$ mit folgenden Eigenschaften: +Sei $(X,\mA)$ ein Messraum. Ein \emph{Maß} auf $\mA$ ist eine Funktion $\mu\colon\mA \to [0,\infty]$ mit folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item $\mu(\emptyset)=0$. \item $\sigma$-Additivität: für jede Folge $(A_n)_{n \in \nat} \subset \mA$ von \emph{paarweise disjunkten} Mengen gilt: @@ -180,26 +180,26 @@ \subsubsection{Lebesgue-Maß auf \texorpdfstring{$\real^n$}{IRn}} \subsection{Lebesgue-Integral} \subsubsection{Charakteristische Funktionen} -Sei $X$ eine nichtleere Menge. Für jedes $A \subset X$ definiert man die \emph{charakteristische Funktion} $\chi_A : X \to \{ 0, 1 \}$ durch +Sei $X$ eine nichtleere Menge. Für jedes $A \subset X$ definiert man die \emph{charakteristische Funktion} $\chi_A \colon X \to \{ 0, 1 \}$ durch \[ \chi_A(x) := \begin{cases} 1, &\text{falls } x \in A \\ 0, &\text{sonst.} \end{cases} \] \subsubsection{Einfache Funktionen} -Sei $X$ eine nichtleere Menge. Eine Funktion $\varphi: X \to \real$ heißt \emph{einfach} $:\Leftrightarrow$ $\varphi$ nimmt nur endlich viele verschiedene Werte an. Mit anderen Worten: Es existiert $m \in \nat$ und $A_1, \ldots, A_m \subset X$ und $c_1, \ldots, c_m \in \real$, so dass +Sei $X$ eine nichtleere Menge. Eine Funktion $\varphi\colon X \to \real$ heißt \emph{einfach} $:\Leftrightarrow$ $\varphi$ nimmt nur endlich viele verschiedene Werte an. Mit anderen Worten: Es existiert $m \in \nat$ und $A_1, \ldots, A_m \subset X$ und $c_1, \ldots, c_m \in \real$, so dass \[ \varphi = \sum_{i=1}^m c_i \chi_{A_i}. \] \subsubsection{Messbare Funktionen} Sei $(X, \mA)$ ein Messraum. \begin{itemize} - \item Eine Funktion $f: X \to [0, \infty]$ heißt \emph{$\mA$-messbar} $:\Leftrightarrow$ $f^{-1}(E) \in \mA$ für alle Borel-Mengen $E \subset [-\infty,\infty]$. - \item $f: \real^n \to [-\infty,\infty]$ heißt \emph{Borel-messbar} (bzw. Lebesgue-messbar) $:\Leftrightarrow$ $f$ ist $\borel(\real^n)$-messbar (bzw. $\lebesgue^n$-messbar). - \item $f: \real^n \to [-\infty,\infty]^n$ heißt \emph{$\mA$-messbar} $:\Leftrightarrow$ jede Komponente von $f$ ist messbar. + \item Eine Funktion $f\colon X \to [0, \infty]$ heißt \emph{$\mA$-messbar} $:\Leftrightarrow$ $f^{-1}(E) \in \mA$ für alle Borel-Mengen $E \subset [-\infty,\infty]$. + \item $f\colon\real^n \to [-\infty,\infty]$ heißt \emph{Borel-messbar} (bzw. Lebesgue-messbar) $:\Leftrightarrow$ $f$ ist $\borel(\real^n)$-messbar (bzw. $\lebesgue^n$-messbar). + \item $f\colon\real^n \to [-\infty,\infty]^n$ heißt \emph{$\mA$-messbar} $:\Leftrightarrow$ jede Komponente von $f$ ist messbar. \end{itemize} \begin{rmrk} - Sei $(X, \mA)$ ein Messraum und $f: X \to [-\infty,\infty]$. Äquivalente Aussagen: + Sei $(X, \mA)$ ein Messraum und $f\colon X \to [-\infty,\infty]$. Äquivalente Aussagen: \begin{enumerate} \item $f$ ist messbar. \item $\{ x \in X: f(x) > c \} \in \mA$ für alle $c \in \real$. @@ -208,7 +208,7 @@ \subsubsection{Messbare Funktionen} \end{rmrk} \begin{thm} - Sei $(X, \mA)$ ein Messraum und für alle $k \in \nat$ seien $f_k, f, g: X \to [-\infty,\infty]$ messbar. Dann sind ebenfalls messbar: + Sei $(X, \mA)$ ein Messraum und für alle $k \in \nat$ seien $f_k, f, g\colon X \to [-\infty,\infty]$ messbar. Dann sind ebenfalls messbar: \begin{align*} &f+g,& &fg,& &\max\{ f, g \},& &\min\{ f, g \}, \\ &\sup_{k \in \nat} f_k, & &\inf_{k \in \nat} f_k,& &\limsup_{k \in \nat} f_k,& &\liminf_{k \in \nat} f_k. @@ -225,7 +225,7 @@ \subsubsection{Messbare Funktionen} \end{proof} \subsubsection{Integral für nichtnegative einfache Funktionen} -Sei $(X,\mA,\mu)$ ein Maßraum und $\varphi: X \to [0, \infty)$ einfach; genauer: Seien $c_i \ge 0$ und $A_i \in \mA$ für $i=1,\ldots,m$ und $\varphi = \sum_{i=1}^m c_i \chi_{A_i}$. Dann definiert man folgende Zahl\footnote{{$\infty$ ist möglich, da unter Umständen $\mu(A_i) = \infty$ für ein $i$}} in $[0,\infty]$: +Sei $(X,\mA,\mu)$ ein Maßraum und $\varphi\colon X \to [0, \infty)$ einfach; genauer: Seien $c_i \ge 0$ und $A_i \in \mA$ für $i=1,\ldots,m$ und $\varphi = \sum_{i=1}^m c_i \chi_{A_i}$. Dann definiert man folgende Zahl\footnote{{$\infty$ ist möglich, da unter Umständen $\mu(A_i) = \infty$ für ein $i$}} in $[0,\infty]$: \[ \int_X \varphi \diffop \mu := \sum_{i=1}^m c_i \mu( A_i ). \] \begin{rmrk} @@ -236,8 +236,8 @@ \subsubsection{Integral für nichtnegative einfache Funktionen} \end{rmrk} \subsubsection{Integral für nichtnegative Funktionen} -Sei $(X,\mA,\mu)$ ein Maßraum und $f: X \to [0, \infty]$ messbar. Man definiert -\[ \int_X f \diffop \mu := \sup \left\{ \int_x \varphi \diffop \mu : \varphi: X \to \real \text{ messbar und einfach mit } 0 \le \varphi \le f \right\}. \] +Sei $(X,\mA,\mu)$ ein Maßraum und $f\colon X \to [0, \infty]$ messbar. Man definiert +\[ \int_X f \diffop \mu := \sup \left\{ \int_X \varphi \diffop \mu : \varphi\colon X \to \real \text{ messbar und einfach mit } 0 \le \varphi \le f \right\}. \] \begin{rmrk} Das Integral ist linear und monoton, das heißt @@ -246,7 +246,7 @@ \subsubsection{Integral für nichtnegative Funktionen} \end{rmrk} \subsubsection{Integrierbare Funktionen} -Sei $(X,\mA,\mu)$ ein Maßraum. Eine Funktion $f:X \to [-\infty,\infty]$ heißt \emph{$\mu$-integrierbar} $:\Leftrightarrow$ $f$ ist $\mA$-messbar und für die beiden (dann ebenfalls messbaren\footnote{Das folgt aus Satz 2.3}) Funktionen $f_\pm : X \to [0,\infty]$ gilt: +Sei $(X,\mA,\mu)$ ein Maßraum. Eine Funktion $f:X \to [-\infty,\infty]$ heißt \emph{$\mu$-integrierbar} $:\Leftrightarrow$ $f$ ist $\mA$-messbar und für die beiden (dann ebenfalls messbaren\footnote{Das folgt aus Satz 2.3}) Funktionen $f_\pm \colon X \to [0,\infty]$ gilt: \[ \int f_\pm \diffop \mu < \infty. \] Man definiert dann folgende Zahl in $\real$: @@ -267,7 +267,7 @@ \subsubsection{Integrierbare Funktionen} Sei $(X,\mA,\mu)$ ein Maßraum und seien $f,g:X \to [-\infty, \infty]$ messbar. Dann gilt \begin{enumerate}[(a)] \item $\int_X |f| \diffop \mu = 0$ $\Leftrightarrow$ $f=0$ fast überall. - \item $f$ ist $\mu$-integrierbar $\Rightarrow$ $f(x) \notin \{ -\infty, \infty \}$ für $\mu$-fast alle\footnotemark $x \in X$. + \item $f$ ist $\mu$-integrierbar $\Rightarrow$ $f(x) \notin \{ -\infty, \infty \}$ für $\mu$-fast alle\footnotemark{} $x \in X$. \item Wenn $\mu$-fast überall $f=g$ gilt, dann ist $f$ integrierbar genau dann, wenn $g$ integrierbar ist. Dann ist \[ \int_X f \diffop \mu = \int_X g \diffop \mu. \] \item $f,g$ integrierbar und $c \in \real$ $\Rightarrow$ $cf$, $f+g$ integrierbar. @@ -277,7 +277,7 @@ \subsubsection{Integrierbare Funktionen} \footnotetext{$\mu(\{ x \in X: f(x) = \infty$ oder $f(x) = -\infty \} ) = 0$} \begin{rmrk} - Keine Äquivalenz in (b), zum Beispiel $f: \real \to \real$ gegeben durch $f(x)$ für alle $x$ mit Maßraum $(\real, \borel(\real), \lebesgue^1 )$. + Keine Äquivalenz in (b), zum Beispiel $f\colon\real \to \real$ gegeben durch $f(x) = 1$ für alle $x$ mit Maßraum $(\real, \borel(\real), \lebesgue^1 )$. \end{rmrk} \subsubsection{Integration über Teilmengen} @@ -292,13 +292,13 @@ \subsubsection{Integration über Teilmengen} \end{exmp} \subsection{Konvergenzsätze} - Riemann-Integral: $f_k \to f$ \emph{gleichmäßig} $\Rightarrow$ $\int f_k \to \int f$. Das ist eine sehr starke Bedingung. + Riemann-Integral: $f_k \to f$ \emph{gleichmäßig} $\Rightarrow$ $\int f_k \to \int f$. Dies ist eine sehr starke Vorraussetzung. \subsubsection{Monotone Konvergenz} \begin{thm} - Sei $(X,\mA,\mu)$ ein Maßraum und $f_0 \le f_1 \le \ldots$ eine monoton wachsende Folge integrierbarer Funktionen, $f_k : X \to \real$. Zudem sei + Sei $(X,\mA,\mu)$ ein Maßraum und $f_0 \le f_1 \le \ldots$ eine monoton wachsende Folge integrierbarer Funktionen, $f_k \colon X \to \real$. Zudem sei \[ \sup_{k \in \nat} \int f_k \diffop \mu < \infty. \] - Dann ist der \emph{punktweise} Grenzwert\footnotemark $f: X \to (-\infty, \infty]$ ebenfalls integrierbar und es gilt + Dann ist der \emph{punktweise} Grenzwert\footnotemark $f\colon X \to (-\infty, \infty]$ ebenfalls integrierbar und es gilt \[ \lim_{k \to \infty} \int_X f_k \diffop \mu = \int_X f \diffop \mu. \] \end{thm} \footnotetext{Das heißt $f(x) := \lim_{k \to \infty} f_k(x)$ für alle $x \in X$.} @@ -329,10 +329,10 @@ \subsubsection{Riemann vs Lebesgue}\label{sect:riemann-lebesgue} \[ \int_{[a,b]} \varphi \diffop \lebesgue^1 = \lim \int_{[a,b]} \varphi_k \diffop \lebesgue = \lim \int_a^b \varphi_k = \int_a^b f. \] Analog für $\psi$. Da $\psi \ge \varphi$ also \[ \int | \psi - \varphi | \diffop \lebesgue^1 = \int (\psi - \varphi) \diffop \lebesgue^1 = \int \psi \diffop \lebesgue^1 - \int \varphi \diffop \lebesgue^1 = 0. \] - Also ist $\varphi = \psi$ $\lebesgue^1$-integrierbar fast überall wegen Satz 2.6, also ist $\psi = f = \varphi$ $\lebesgue^1$-integrierbar fast überall, weil ja $\varphi \le f \le \psi$. + Also ist $\varphi = \psi$ $\lebesgue^1$-integrierbar fast überall wegen Satz 2.6, also ist $\psi = f = \varphi$ $\lebesgue^1$-integrierbar fast überall, wegen $\varphi \le f \le \psi$. \end{proof} -Beispiel einer $\lebesgue^1$-integrierbaren, aber nicht Riemann-integrierbaren Funktion $f:[a,b] \to [0,\infty)$: +Beispiel einer $\lebesgue^1$-integrierbaren, aber nicht Riemann-integrierbaren Funktion $f\colon[a,b] \to [0,\infty)$: \[ f = \chi_{\rat \cap [a,b]} = \begin{cases} 1, &\text{wenn } x \in \rat \text{ und } x \in [a,b], \\ 0, &\text{sonst.} \end{cases} @@ -352,14 +352,14 @@ \subsubsection*{Uneigentliches Riemann-Integral} \subsubsection{Majorierte Konvergenz} \begin{thm} - Sei $(X, \mA, \mu)$ ein Maßraum und $(f_k)_{k \in \nat}$ eine Folge messbarer Funktionen $X \to \real$, die \emph{punktweise} gegen $f:X \to \real$ konvergiert. Zudem existiere eine Majorante, das heißt eine \emph{integrierbare} Funktion $F: X \to [0, \infty]$, so dass punktweise fast überall $|f_k| \le F$ für alle $k \in \nat$. Dann ist $f$ integrierbar\footnotemark und + Sei $(X, \mA, \mu)$ ein Maßraum und $(f_k)_{k \in \nat}$ eine Folge messbarer Funktionen $X \to \real$, die \emph{punktweise} gegen $f:X \to \real$ konvergiert. Zudem existiere eine Majorante, das heißt eine \emph{integrierbare} Funktion $F\colon X \to [0, \infty]$, so dass punktweise fast überall $|f_k| \le F$ für alle $k \in \nat$. Dann ist $f$ integrierbar\footnotemark und \[ \lim_{k \to \infty} \int_X f_k \diffop \mu = \int_X f \diffop \mu. \] \end{thm} \footnotetext{Auch alle $f_k$, das folgt sofort aus der Ungleichung} \begin{rmrk} - Wegen $|f_k -f| \le 2F$ und der punktweisen Konvergenz $|f_k - f| \to 0$ folgt durch nochmalige Anwendung des Satzes der stärkere Schluss - \[ \int_x |f_k - f| \diffop \mu \to 0. \] + Wegen $|f_k -f| \le 2F$ und der punktweisen Konvergenz $|f_k - f| \to 0$ folgt durch nochmalige Anwendung des Satzes der stärkere Schluss: + \[ \lim_{k\to\infty}\int_X |f_k - f| \diffop \mu = 0 \] \end{rmrk} \subsubsection*{Notwendigkeit der Majorante} @@ -367,31 +367,31 @@ \subsubsection*{Notwendigkeit der Majorante} Suche eine Folge $(f_k)$ mit $\int_\real f_k = 1$, aber $f_k \to 0$ punktweise. Wähle zum Beispiel $f_k = k \cdot \chi_{[-1/2k,1/2k]\setminus \{ 0 \}}$. (``Rechtecke'' zentriert um 0). Es gibt keine Majorante, da $f_{k+1} > f_k$ auf $\left[ -\rez{2(k+1)}, \rez{2k+1} \right]$. Es gilt \[ \int_\real f_k = k \cdot \lebesgue^1 \left( -\rez{2k}, \rez{2k} \right) = k \cdot \rez{k} = 1 \] -und für alle $x \ne 0$ gilt $f_k(x) \to 0$. Damit gilt aber $\int_\real f = 0$! +und für alle $x \ne 0$ gilt $f_k(x) \to 0$. Damit gilt aber $\int_\real f = 0$. Widerspruch! \subsection{Parameterabhängige Integrale} Situation: $f(x,t)$ und betrachte -\[ \int_X f(x,t) \diffop \mu(x) := \int_X f( \cdot, t ) \diffop \mu \] -wobei $f( \cdot, t)(x) := f(x,t)$. Wie hängt $\int_X f(x,t) \diffop \mu(x)$ von $t$ ab? +\[ F(t):= \int_X f(x,t) \diffop \mu(x) := \int_X f( \cdot, t ) \diffop \mu \] +wobei $f( \cdot, t)(x) := f(x,t)$. Wie hängt $F$ von $t$ ab? \subsubsection{Stetige Abhängigkeit} \begin{thm} Sei $(X, \mA, \mu)$ ein Maßraum, $U \subset \real^n$ offen und $a \in U$. Weiter sei - \[ f: X \times U \to \real, \quad (x,t) \mapsto f(x,t) \] + \[ f\colon X \times U \to \real, \quad (x,t) \mapsto f(x,t) \] eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item Für jedes feste $t \in U$ ist $f( \cdot, t ): x \mapsto f(x,t)$ integrierbar auf $X$. \item Für jedes feste $x \in X$ ist $f( x, \cdot ): t \mapsto f(x,t)$ stetig im Punkt $a$. - \item Es existiert eine integrierbare Majorante $F: X \to [0,\infty]$ mit $|f(x,t)| \le F(x)$ für alle $(x,t) \in X \times U$. + \item Es existiert eine integrierbare Majorante $F\colon X \to [0,\infty]$ mit $|f(x,t)| \le F(x)$ für alle $(x,t) \in X \times U$. \end{enumerate} Dann ist die durch \[ g(t) := \int_X f(x,t) \diffop \mu(x) := \int_X f( \cdot, t ) \diffop \mu \] - definierte Funktion $g: U \to \real$ stetig in $a$, das heißt + definierte Funktion $g\colon U \to \real$ stetig in $a$, das heißt \[ \lim_{t \to a} \int_X f(x,t) \diffop \mu(x) = \int_X f(x,a) \diffop \mu(x). \] \end{thm} \begin{proof} - Sei $(t_k)_{k \in \nat} \subset U$ mit $t_k \to a$ und definiere $f_k(x) := f(x, t_k)$ und $f_\infty(x) := f(x, a)$. Nach Voraussetzung ist jedes $f_k$ messbar und majoriert durch $f$: + Sei $(t_k)_{k \in \nat} \subset U$ mit $t_k \to a$ und definiere $f_k(x) := f(x, t_k)$ und $f_\infty(x) := f(x, a)$. Nach Voraussetzung ist jedes $f_k$ messbar und majoriert durch $F$: \[ |f_k(x)| = |f(x,t_k)| \le F(x) \text{ für alle } x \in X. \] Zudem gilt wegen 2. $f_k \to f$ punktweise auf $X$. Daher folgt die Behauptung aus der majorierten Konvergenz. \end{proof} @@ -399,16 +399,16 @@ \subsubsection{Stetige Abhängigkeit} \subsubsection{Differenzierbare Abhängigkeit} \begin{thm} Sei $(X, \mA, \mu)$ ein Maßraum und $I \subset \real$ ein nichttriviales Intervall. Weiter sei - \[ f: X \times I \to \real, \quad (x,t) \mapsto f(x,t) \] + \[ f\colon X \times I \to \real, \quad (x,t) \mapsto f(x,t) \] eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item Für jedes feste $t \in I$ ist $f( \cdot, t )$ integrierbar. \item Für jedes feste $x \in X$ ist $f( x, \cdot )$ differenzierbar auf $I$. - \item Es existiert eine integrierbare Majorante $F: X \to [0,\infty]$, so dass $\pdiff{f}{t}(x,t) \le F(x)$ für alle $(x,t) \in X \times I$. + \item Es existiert eine integrierbare Majorante $F\colon X \to [0,\infty]$, so dass $\pdiff{f}{t}(x,t) \le F(x)$ für alle $(x,t) \in X \times I$. \end{enumerate} Dann ist die durch \[ g(t) := \int_X f(x,t) \diffop \mu(x) \] - definierte Funktion $g: I \to \real$ differenzierbar auf $I$ und + definierte Funktion $g\colon I \to \real$ differenzierbar auf $I$ und \[ g'(t) = \int_X \pdiff{f}{t}(x,t) \diffop \mu(x) \text{ für alle } t \in I. \] \end{thm} @@ -426,14 +426,14 @@ \subsubsection{Differenzierbare Abhängigkeit} \subsection{Eigenschaften des Lebesgue-Maßes} \subsubsection{Definition (Erinnerung)} \textbf{Äußeres Lebesgue-Maß.} Für jede Menge $E \subset \real^n$ definiert man - \[ \lebesgue^n( E ) := \inf \left\{ \sum_{k=0}^\infty r_k^n : E \subset \bigcup_{i=0}^\infty Q_{r_k}(a_k) \right\}, \] + \[ \lebesgue^n( E ) := \inf \left\{ \sum_{k=0}^\infty r_k^n \middle| E \subset \bigcup_{i=0}^\infty Q_{r_k}(a_k) \right\}, \] wobei das Infimum über alle Folgen $(r_k)_{k \in \nat} \subset (0, \infty)$ genommen wird, für die eine zugehörige Folge $(a_k)_{k \in \nat} \subset \real^n$ existiert, so dass $E \subset \bigcup_{k=0}^\infty Q_{r_k}(a_k)$. Hierbei ist $Q_{r}(a) := a + \left(-\frac{r}{2}, \frac{r}{2} \right]^n$. Lebesgue-Maß: Einschränkung des so definierten äußeren Lebesgue-Maßes auf $\sigma( \lebesgue^n )$. \subsubsection{``Maßraum''-Eigenschaften} \begin{thm} - Bezeichne $\lebesgue^n: 2^{\real^n} \to [0, \infty]$ das äußere Lebesgue-Maß auf $\real^n$. Dann gilt: + Bezeichne $\lebesgue^n\colon 2^{\real^n} \to [0, \infty]$ das äußere Lebesgue-Maß auf $\real^n$. Dann gilt: \begin{enumerate} \item $\lebesgue( \emptyset ) = 0$. \item $\sigma$-Subadditivität: Sind $E_0, E_1, \ldots \subset \real^n$, dann @@ -471,7 +471,7 @@ \subsubsection{Metrische Eigenschaften} Es folgt eine weitere maßtheoretische Eigenschaft: \begin{kor} - Das äußere Lebesgue-Maß ist $\sigma$-endlich, das heißt für jedes $E \subset \real^n$ existiert $E_0 \subset E_1 \subset \ldots$ mit $\lebesgue(E_k) < \infty$ und $E = \bigcup_{k=0}^\infty E_k$. + Das äußere Lebesgue-Maß ist $\sigma$-endlich, das heißt für jedes $E \subset \real^n$ existiert $E_0 \subset E_1 \subset \ldots$ mit $\lebesgue^n(E_k) < \infty$ und $E = \bigcup_{k=0}^\infty E_k$. \end{kor} \begin{proof} @@ -499,43 +499,43 @@ \subsubsection*{Weiterführendes} \end{itemize} \subsubsection{Euklidische Eigenschaften} -\textbf{Formale Anmerkung.} Wenn sich das Volumen einer Menge $E \subset \real^n$ elemtargeometrisch berechnen lässt, dann stimmt es mit dem Lebesgue-Maß $\lebesgue^n(E)$ überein. Mit anderen Worten: Das $n$-dimensionale Lebesgue-Maß ist die natürliche Fortsetzung des Volumenbegriffs auf die Klasse der Borel-messbaren Mengen $\borel(\real^n)$. +\textbf{Formale Anmerkung:} Wenn sich das Volumen einer Menge $E \subset \real^n$ elemtargeometrisch berechnen lässt, dann stimmt es mit dem Lebesgue-Maß $\lebesgue^n(E)$ überein. Mit anderen Worten: Das $n$-dimensionale Lebesgue-Maß ist die natürliche Fortsetzung des Volumenbegriffs auf die Klasse der Borel-messbaren Mengen $\borel(\real^n)$. \begin{thm}[Verhalten unter affinen Transformationen] Sei $T \in \realmat{n}{n}$ invertierbar, sei $a \in \real^n$ und definiere $\Phi:\real^n \to \real^n$ durch $\Phi(x) = a + Tx$. Dann gilt für jede Borel-messbare Menge $E \in \real^n$: \begin{enumerate} \item $\Phi(E)$ ist Borel-messbar. - \item $\lebesgue^n( \Phi(E) ) = | \det T | \lebesgue^n (E)$. + \item $\lebesgue^n( \Phi(E) ) = | {\det T} | \cdot \lebesgue^n (E)$. \end{enumerate} \end{thm} -\emph{Beweisidee.} +\emph{Beweisidee:} \begin{itemize} \item Für $T = \lambda I$ ($I$ ist die Einheitsmatrix) siehe Übung $\lebesgue^n (a + \lambda E) = \lebesgue^n ( \lambda E ) = \lambda^n \lebesgue^n (E)$. \item $\rightsquigarrow$ Naheliegend, dass auch für \[ T = \begin{pmatrix} - \lambda_0 & 0 & \cdots & \\ - 0 & \lambda_1 & \ddots & \\ + \lambda_0 & 0 & \cdots & 0\\ + 0 & \lambda_1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ - & & 0 & \lambda_n + 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix} \] die behauptete Formel gilt. \item $\lebesgue^n$ ist invariant unter Rotationen und Spiegelungen ($T \in O(n)$). \item Jede Matrix $T$ ist von der Form $T = QRDR^{-1}$, wobei $D$ diagonal und $Q,R \in O(n)$. \end{itemize} -Insbesondere für $T \in SO(n)$ $\Rightarrow$ $\det T = 1$ $\Rightarrow$ $\lebesgue^n$ ist rotationsinvariant. +Insbesondere für $T \in SO(n)$ ($\Rightarrow$ $\det T = 1$) ist $\lebesgue^n$ ist rotationsinvariant. \clearpage \subsubsection{Transformationsformel} -Erinnerung an die Substitutionsregel für Riemann-Funktionen in Analysis 2: Sei $I \subset \real$ Intervall, $f:I \to \real$ und $\varphi:[a,b] \to \real$ stetig differenzierbar mit $\varphi([a,b]) \subset I$. Dann +Erinnerung an die Substitutionsregel für Riemann-Funktionen in Analysis 2: Sei $I \subset \real$ Intervall, $f\colon I \to \real$ und $\varphi\colon[a,b] \to \real$ stetig differenzierbar mit $\varphi([a,b]) \subset I$. Dann \[ \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f = \int_a^b f(\varphi(x)) \varphi'(x) \diffop x. \] Gegenstück für höhere Dimensionen: \begin{thm} - Seien $U,V \subset \real^n$ offen und sei $\Phi: U \to V$ ein $C^1$-Diffeomorphismus\footnotemark. Eine Funktion $f: V \to \real$ ist genau dann integrierbar, wenn $(f \circ \Phi) \cdot | \det \nabla \Phi |$ integrierbar ist und es gilt dann - \[ \int_V f \diffop \lebesgue^n = \int_U (f \circ \Phi) | \det \nabla \Phi | \diffop \lebesgue^n. \] + Seien $U,V \subset \real^n$ offen und sei $\Phi\colon U \to V$ ein $C^1$-Diffeomorphismus\footnotemark. Eine Funktion $f\colon V \to \real$ ist genau dann integrierbar, wenn $(f \circ \Phi) \cdot \lvert \det \nabla \Phi \rvert$ integrierbar ist und es gilt dann + \[ \int_V f \diffop \lebesgue^n = \int_U (f \circ \Phi) \lvert {\det \nabla \Phi} \rvert \diffop \lebesgue^n. \] \end{thm} \footnotetext{$\Phi$ ist bijektiv, $\Phi \in C^1$, $\Phi^{-1} \in C^1$} @@ -544,9 +544,9 @@ \subsubsection{Transformationsformel} \begin{align*} \int_{\real^n} f \diffop \lebesgue^n = \lebesgue^n(A) &= \lebesgue^n ( \Phi( \Phi^{-1}( A ) )) \\ - &= | \det \nabla \Phi | \lebesgue^n( \Phi^{-1}(A) ) \\ - &= | \det \nabla \Phi | \int_{\real^n} \underbrace{\chi_{\Phi^{-1}(A)}}_{\chi_A \cdot \Phi} \diffop \lebesgue^n \\ - &= \int_{\real^n} | \det\nabla \Phi | f \circ \Phi \diffop \lebesgue^n. \qedhere + &= \lvert \det \nabla \Phi \rvert \lebesgue^n( \Phi^{-1}(A) ) \\ + &= \lvert \det \nabla \Phi \rvert \int_{\real^n} \underbrace{\chi_{\Phi^{-1}(A)}}_{\chi_A \circ \Phi} \diffop \lebesgue^n \\ + &= \int_{\real^n} \lvert \det\nabla \Phi \rvert (f \circ \Phi) \diffop \lebesgue^n. \qedhere \end{align*} \end{proof} @@ -559,30 +559,32 @@ \subsubsection{Transformationsformel} \item Polarkoordinaten eines Punktes $x=(x_1,x_2,x_3) \in \real^3$ mit $(x_1,x_2) \ne 0$: \begin{itemize} \item $r := |x| =$ Länge des Vektors $x$ + \item $\varphi :=$ Winkel zwischen $x_1$-Achse und auf die $x_1$-$x_2$-Ebene projeziert Vektor $x$ \item $\theta :=$ Winkel zwischen $x_3$-Achse und Vektor $x$ - \item $\varphi :=$ Winkel zwischen $x_1$-Achse und Vektor $x$ \end{itemize} - Transformation von Polar- in euklidische Koordinaten:$\Phi: [0, \infty) \times [0,\pi] \times [0,2\pi] \to \real^3$, wobei - \[ (r,\theta, \varphi) \mapsto ( r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta ). \] - Rechnung (Übung) ergibt - \[ \det \nabla \Phi( r, \theta, \varphi) = r^2 \sin \theta. \] - Setze $U := (0, \infty) \times (0,\pi) \times (0,2\pi)$. Dann ist $\Phi: U \to V$ ein $C^1$-Diffeomorphismus, wobei + Transformation von Polar- in euklidische Koordinaten: $\Phi\colon[0, \infty) \times [0,\pi] \times [0,2\pi] \to \real^3$, wobei: + \[ (r,\theta, \varphi) \mapsto ( r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta )=r\left( \begin{matrix} \cos \theta \\ \sin\theta \left(\begin{matrix} cos \varphi \\ \sin \varphi \end{matrix}\right) \end{matrix} \right) \] + Daraus ergibt sich: + \[ \det \nabla \Phi( r, \theta, \varphi) = { \stackrel{\text{Übung}}\ldots} = r^2 \sin \theta. \] + Setze: + \[ U := (0, \infty) \times (0,\pi) \times (0,2\pi) \] + und \[ V := \Phi(U) = \real^3 \setminus ( [0,\infty) \times \{ 0 \} \times \real ) \] - Transformationsformel $\Rightarrow$ eine Funktion $f: \real^3 \to \real$ ist genau dann $\lebesgue^3$-integrierbar, wenn $(f \circ \Phi) | \det \nabla \Phi| : U \to \real$ mit + Dann ist $\Phi\colon U \to V$ ein $C^1$-Diffeomorphismus, wobei + Transformationsformel $\Rightarrow$ eine Funktion $f\colon \real^3 \to \real$ ist genau dann $\lebesgue^3$-integrierbar, wenn $(f \circ \Phi) \lvert \det \nabla \Phi \rvert \colon U \to \real$ mit \[ (r, \theta, \varphi) \mapsto f( r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta ) r^2 \sin \theta \] integrierbar ist. Dann gilt - \[ \int_{\real^3} f \diffop \lebesgue^3 = \int_0^\infty \int_0^\pi \int_0^{2 \pi} f( r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta ) r^2 \sin \theta \diffop \varphi \diffop \theta \diffop r. \] - Hier wurde Satz \ref{sect:tonelli} verwendet. + \[ \int_{\real^3} f \diffop \lebesgue^3 \stackrel{\mathrm{\ref{sect:tonelli}}}= \int_0^\infty \int_0^\pi \int_0^{2 \pi} f( r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta ) r^2 \sin \theta \diffop \varphi \diffop \theta \diffop r. \] Anwendung dieser Formel: - \[ \lebesgue^3( B_R(0) ) = \int_{\real^3} \chi_{B_R(0)} \diffop \lebesgue^3 = \int_{\real^3} \chi_{[0,R)}(|x|) \diffop \lebesgue^3 (x). \] - Hier verwendet: $\chi_{B_R(0)}(0) = \chi_{[0,R)}(|x|)$, denn $x \in B_R(0) \Leftrightarrow |x| \in [0,R)$. Das ist klar, denn + \[ 1\cdot\lebesgue^3( B_R(0) ) \stackrel{\mathrm{2.4}}= \sum_{i=1}^11\cdot\chi_{B_{R}(0)} = \int_{\real^3} \chi_{B_R(0)} \diffop \lebesgue^3 = \int_{\real^3} \chi_{[0,R)}(|\cdot|) \diffop \lebesgue^3 \] + Hier verwendet: $\chi_{B_R(0)}(x) = \chi_{[0,R)}(|x|)$, denn $x \in B_R(0) \Leftrightarrow |x| \in [0,R)$. Das ist klar, denn \[ B_R(0) := \{ x \in \real^n : |x| < R \}. \] Also folgt \[ \begin{aligned} \lebesgue^3( B_R(0) ) - &= \int_0^R \int_0^\pi \int_0^{2 \pi} r^2 \sin \Theta \diffop \varphi \diffop \Theta \diffop r \\ - &= 2 \pi \left( \int_0^R r^2 \diffop r \right) \left( \int_0^\pi \sin \Theta \diffop \Theta \right) \\ + &= \int_0^R \int_0^\pi \left[\int_0^{2 \pi} r^2 \sin \theta \diffop \varphi \right] \diffop \theta \diffop r \\ + &= 2 \pi \left( \int_0^R r^2 \diffop r \right) \underbrace{\left(\int_0^\pi \sin \theta \diffop \theta \right)}_{=2} \\ &= \frac{4 \pi}{3} R^3. \end{aligned} \] \end{enumerate} @@ -593,8 +595,8 @@ \subsubsection{Satz von Fubini-Tonelli}\label{sect:tonelli} Wir identifizieren in diesem Abschnitt $\real^{k+\ell} = \real^k \times \real^\ell$ und bezeichnen Punkte in $\real^{k + \ell}$ mit $(x,y)$, wobei $x \in \real^k$, $y \in \real^\ell$. -Funktionen $f: \real^{k+\ell} \to \real$ fassen wir auf als Funktionen $\real^k \times \real^\ell \to \real$, $(x,y) \mapsto f(x,y)$. Für $y \in \real^\ell$ definiere -\[ f( \cdot, y ) : \real^k \to \real, \quad x \mapsto f(x,y). \] +Funktionen $f\colon\real^{k+\ell} \to \real$ fassen wir auf als Funktionen $\real^k \times \real^\ell \to \real$, $(x,y) \mapsto f(x,y)$. Für $y \in \real^\ell$ definiere +\[ f( \cdot, y ) \colon\real^k \to \real, \quad x \mapsto f(x,y). \] Analog $f( x, \cdot ) := f(x,y)$. Wir legen den Maßraum $(\real^n, \borel(\real^n), \lebesgue^n)$ zugrunde\footnote{``Integrierbar'' heißt also $\lebesgue^n$-integrierbar und Borel-messbar.}. @@ -619,20 +621,20 @@ \subsubsection{Satz von Fubini-Tonelli}\label{sect:tonelli} \end{itemize} \begin{thm}[Tonelli]{} - Sei $f: \real^{k+\ell} \to [0, \infty]$ Borel-messbar. Dann ist $f(\cdot,y):\real^3 \to [0,\infty]$ Borel-messbar für jedes $y \in \real^\ell$ und die Funktion + Sei $f\colon\real^{k+\ell} \to [0, \infty]$ Borel-messbar. Dann ist $f(\cdot,y):\real^k \to [0,\infty]$ Borel-messbar für jedes $y \in \real^\ell$ und die Funktion \[ \real^\ell \to [0,\infty], \quad y \mapsto \int_{\real^k} f(x,y) \diffop \lebesgue^k (x) \] ist Borel-messbar. Es gilt \[ \begin{aligned} \int_{\real^{k+\ell}} f \diffop \lebesgue^{k+\ell} &= \int_{\real^\ell} \left( \int_{\real^k} f(x,y) \diffop \lebesgue^k (x) \right) \diffop \lebesgue^\ell (y) \\ &= \int_{\real^k} \left( \int_{\real^\ell} f(x,y) \diffop \lebesgue^\ell (y) \right) \diffop \lebesgue^k (x). \end{aligned} \] - Insbesondere ist eine Borel-messbare Funktion $F: \real^k \times \real^\ell \to [-\infty, \infty]$ genau dann $\lebesgue^{k+\ell}$-integrierbar, wenn + Insbesondere ist eine Borel-messbare Funktion $F\colon \real^k \times \real^\ell \to [-\infty, \infty]$ genau dann $\lebesgue^{k+\ell}$-integrierbar, wenn \[ \int_{\real^\ell} \left( \int |F(x,y)| \diffop \lebesgue^k (x) ) \right) \diffop \lebesgue^\ell (y) < \infty. \] Analog gilt das auch für $x \leftrightarrow y$ und $k \leftrightarrow \ell$. \end{thm} \begin{proof} - Aufgrund des Lemmas gilt der Satz für die Funktion $f = \chi_A$ mit Borel-Menge $A \subset \real^{k+\ell}$. Wegen Linearität also auch für einfache Funktionen $f$. Nun sei $f$ wie im Satz. Gemäß Übungsblatt 2 existieren einfache Funktionen $\varphi_n : \real^{k+\ell} \to [0, \infty)$, so dass $\varphi_n (x,y) \uparrow f(x,y)$ für alle $(x,y) \in \real^{k+\ell}$ und $\int \varphi_n \diffop \lebesgue^{k+\ell} \rightarrow \int f \diffop \lebesgue^{k+\ell}$. + Aufgrund des Lemmas gilt der Satz für die Funktion $f = \chi_A$ mit Borel-Menge $A \subset \real^{k+\ell}$. Wegen Linearität also auch für einfache Funktionen $f$. Nun sei $f$ wie im Satz. Gemäß Übungsblatt 2 existieren einfache Funktionen $\varphi_n \colon \real^{k+\ell} \to [0, \infty)$, so dass $\varphi_n (x,y) \uparrow f(x,y)$ für alle $(x,y) \in \real^{k+\ell}$ und $\int \varphi_n \diffop \lebesgue^{k+\ell} \rightarrow \int f \diffop \lebesgue^{k+\ell}$. Sei $y \in \real^\ell$ fest. Dann ist jedes $\varphi_n(\cdot, y)$ Borel-messbar in $\real^k$, weil der Satz für einfach Funktionen $\varphi_n$ gilt. Da $\varphi_n(\cdot, y) \uparrow f( \cdot, y)$ punktweise auf $\real^k$, folgt mit der monotonen Konvergenz: \[ \Phi_n(y) := \int \varphi_n(x,y) \diffop \lebesgue^k (x) \uparrow \underbrace{\int f(x,y) \diffop \lebesgue^k (x)}_{:= F(y)}. \] @@ -643,7 +645,7 @@ \subsubsection{Satz von Fubini-Tonelli}\label{sect:tonelli} \end{proof} \begin{kor}[Fubini] - Sei $f:\real^{k+\ell} \to [-\infty,\infty]$ integrierbar. Dann existiert eine Nullmenge $N \subset \borel(\real^\ell)$, sodass $f(\cdot, y): \real^k \to [-\infty, \infty]$ für jedes $y \in \real^\ell \setminus N$ integrierbar ist, und auch + Sei $f:\real^{k+\ell} \to [-\infty,\infty]$ integrierbar. Dann existiert eine Nullmenge $N \subset \borel(\real^\ell)$, sodass $f(\cdot, y)\colon\real^k \to [-\infty, \infty]$ für jedes $y \in \real^\ell \setminus N$ integrierbar ist, und auch \[ \real^\ell \to [-\infty, \infty],\quad y \mapsto \int_{\real^k} f(x,y) \diffop \lebesgue^k (x) \] ($:= 0$ für $y \in N$) integrierbar über $\real^k$. (Dasselbe gilt für $x \leftrightarrow y$). @@ -656,7 +658,7 @@ \subsubsection{Satz von Fubini-Tonelli}\label{sect:tonelli} \end{kor} \begin{proof} - Wegen Tonelli sind die Funktionen $F_\pm: \real^\ell \to [0,\infty]$, $F_\pm := \int_{\real^k} f_\pm (x,y) \diffop \lebesgue^k(x)$ Borel-messbar mit + Wegen Tonelli sind die Funktionen $F_\pm\colon\real^\ell \to [0,\infty]$, $F_\pm := \int_{\real^k} f_\pm (x,y) \diffop \lebesgue^k(x)$ Borel-messbar mit \[ \int_{\real^\ell} F_\pm \diffop \lebesgue^\ell = \int_{\real^\ell} \left( \int_{\real^k} f_\pm (x,y) \diffop \lebesgue^k(x) \right) \diffop \lebesgue^\ell = \int_{\real^{k+\ell}} f_\pm \diffop \lebesgue^{k+\ell} < \infty. \] Also existiert gemäßt Satz 2.6(b) eine Nullmenge $N \subset \real^\ell$, sodass $F_+(y) < \infty$ und $F_-(y) < \infty$ für alle $y \in \real^\ell \setminus N$. Also ist die im Korollar definierte Funktion integrierbar. Die Gleichung am Schluss folgt aus Tonelli, angewandt auf $f_+$ und $f_-$. \end{proof} @@ -670,5 +672,5 @@ \subsubsection{Satz von Fubini-Tonelli}\label{sect:tonelli} \end{folg} \begin{proof} - Die Borel-Messbarkeit folgt aus $\mathrm{graph}(f) = \phi^{-1}( \{ 0 \} )$, wobei $\phi: U \times \real \to \real$ mit $\phi(x,y) = y -f(x)$ eine Borel-messbare Funktion ist. Er ist eine Nullmenge, weil für alle $x \in U$ $\mathrm{graph}(f)_x = \{ f(x) \}$ eine $\lebesgue^1$-Nullmenge ist. + Die Borel-Messbarkeit folgt aus $\mathrm{graph}(f) = \phi^{-1}( \{ 0 \} )$, wobei $\phi\colon U \times \real \to \real$ mit $\phi(x,y) = y -f(x)$ eine Borel-messbare Funktion ist. Er ist eine Nullmenge, weil für alle $x \in U$ $\mathrm{graph}(f)_x = \{ f(x) \}$ eine $\lebesgue^1$-Nullmenge ist. \end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/gdim/skript_gdim.tex b/gdim/skript_gdim.tex index 396cda4..6735066 100644 --- a/gdim/skript_gdim.tex +++ b/gdim/skript_gdim.tex @@ -83,7 +83,7 @@ \subsection{Untermannigfaltigkeiten des \texorpdfstring{$\real^n$}{IRn}} Sei $Y$ ein metrischer Raum. \begin{itemize} - \item Eine Abbildnung $f: X \to Y$ heißt \emph{Homöomorphismus} $:\Leftrightarrow$ $f$ ist bijektiv und $f$ und $f^{-1}$ sind stetig (Anschaulich ``stetige Deformation''). + \item Eine Abbildnung $f\colon X \to Y$ heißt \emph{Homöomorphismus} $:\Leftrightarrow$ $f$ ist bijektiv und $f$ und $f^{-1}$ sind stetig (Anschaulich ``stetige Deformation''). \item $K \subset \real^n$ ist \emph{kompakt} $:\Leftrightarrow$ $K$ ist beschränkt und abgeschlossen. \end{itemize} @@ -94,7 +94,7 @@ \subsection{Untermannigfaltigkeiten des \texorpdfstring{$\real^n$}{IRn}} Diese sogenannte \emph{Heine-Borel-Eigenschaft} ist äquivalent zur Kompaktheit in $\real^n$ und ist in beliebigen metrischen Räumen die \emph{Definition} von Kompaktheit. -Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $M \subset X$. Eine Teilmenge $V \subset M$ heitß \emph{offen in} (oder relativ zu) $M$ $:\Leftrightarrow$ $M$ ist ein metrischer Raum mit Metrik $d$ $(M,d|_M)$ mit offener Teilmenge $V$. +Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $M \subset X$. Eine Teilmenge $V \subset M$ heißt \emph{offen in} (oder \emph{offen relativ zu}) $M$ $:\Leftrightarrow$ $M$ ist ein metrischer Raum mit Metrik $d$ $(M,d|_M)$ mit offener Teilmenge $V$. \begin{rmrk} $V$ offen in $M \subset X$ $\Leftrightarrow$ Es existiert $U \subset X$ offen, sodass $V = M \cap U$. @@ -109,21 +109,21 @@ \subsubsection{Immersionen} Sei $U \subset \real^k$ offen. Eine Abbildung $\varphi \in C^1(U, \real^n)$ heißt \emph{Immersion} $:\Leftrightarrow$ Für jedes $x \in U$ sind die Vektoren $\partial_1 \varphi(x), \partial_2 \varphi(x), \ldots, \partial_n \varphi(x)$ linear unabhängig ($\circ$). \textbf{Idee.} Lokal ist -\[ \varphi(x) = \varphi(z) + \underbrace{\nabla \varphi(z)}_{\in \real^{k \times n}} x. \] +\[ \varphi(z) = \varphi(x) + \underbrace{\nabla \varphi(x)}_{\in \real^{n \times k}} z. \] Daher lineare Algebra für affine $\varphi$ (das heißt $\nabla\varphi \equiv A$) \[ \begin{aligned} \rang(A) &= 2 & &\rightsquigarrow & &\dim \text{Bild}(A) = 2 \text{ (Ebene)} \\ \rang(A) &= 1 & &\rightsquigarrow & &\dim \text{Bild}(A) = 1 \\ - \rang(A) &= 2 & &\rightsquigarrow & &\dim \text{Bild}(A) = 0 \, (\{0\}) + \rang(A) &= 0 & &\rightsquigarrow & &\dim \text{Bild}(A) = 0 \, (\Im(A)=\{0\}) \end{aligned} \] \begin{rmrk} \begin{enumerate} \item Lineare Unabhängigkeit kann nur erfüllt sein, wenn $n \ge k$. \item Für alle $x \in U$ ist - \[ \nabla\varphi(x) = \begin{pmatrix} \partial_1 \varphi(x) & \partial_2 \varphi(x) & \ldots & \partial_n \varphi(x) \end{pmatrix} \in \real^{n \times k}.\] + \[ \nabla\varphi(x) = \begin{pmatrix} |&|&&|\\ \partial_1 \varphi(x) & \partial_2 \varphi(x) & \cdots & \partial_n \varphi(x) \\|&|&&| \end{pmatrix} \in \real^{n \times k}.\] Bedingung ($\circ$) ist äquivalent zu - \[ \rang( \nabla \varphi(x) ) := \text{ Rang von } \nabla \varphi(x) = k. \] + \[ \rang( \nabla \varphi(x) ) = \text{ Rang von } \nabla \varphi(x) = k. \] Mit anderen Worten: Es existieren Indizes $i_1, \ldots, i_k$, sodass $\pdiff{(\varphi_{i_1}, \ldots, \varphi_{i_k})}{(x_1, \ldots, x_k)}$ invertierbar ist. $\pdiff{(\varphi_{i_1}, \ldots, \varphi_{i_k})}{(x_1, \ldots, x_k)}$ ist an jeder Stelle $x \in U$ eine invertierbare $(k \times k)$-Matrix, das heißt @@ -134,11 +134,11 @@ \subsubsection{Immersionen} \end{rmrk} \begin{defn} - Sei $U \subset \real^k$ offen und $\varphi: U \to \real^n$ eine Immersion. + Sei $U \subset \real^k$ offen und $\varphi\colon U \to \real^n$ eine Immersion. \begin{itemize} \item Für alle $x \in U$ definiert man den $k$-dimensionalen Untervektorraum von $\real^n$: - \[ T_x \varphi := \spn \{ \nabla \partial_1 \varphi(x), \ldots, \partial_k \varphi(x), \] - \item Die von $\varphi$ induzierte Riemannsche Metrik auf $U$ ist die Abbildung $g_\varphi: U \to \real^{k \times k}$, definiert durch $g_\varphi(x) := (\nabla \varphi(x))^T (\nabla \varphi(x))$. Komponentenweise: + \[ T_x \varphi := \spn \{ \partial_1 \varphi(x), \ldots, \partial_k \varphi(x)\} \] + \item Die von $\varphi$ induzierte Riemannsche Metrik auf $U$ ist die Abbildung $g_\varphi\colon U \to \real^{k \times k}$, definiert durch $g_\varphi(x) := (\nabla \varphi(x))^T (\nabla \varphi(x))$. Komponentenweise: \[ (g_\varphi)_{ij}(x) = \partial_i \varphi(x) \cdot \partial_j \varphi(x), \] wobei mit $\cdot$ das Skalarprodukt im $\real^n$ gemeint ist. @@ -151,8 +151,8 @@ \subsubsection{Immersionen} \begin{enumerate} \item Kurven im $\real^n$ ($k=1$). Sei $U = (a,b) \subset \real$. Eine Immersion ist eine Abbildung $\varphi:(a,b) \to \real^n$ mit ``Geschwindigkeitsvektor'' $\varphi'(x) \ne 0$ für alle $x \in (a,b)$. \[ T_x \varphi = \spn\{ \varphi'(x)\} \text{ und } g_\varphi(x) = | \varphi'(x) |^2. \] - \item Graphen im $\real^n$. Sei $U \subset \real^{n-1}$ offen und $f: U \to \real$ stetig differenzierbar. Definiere $\varphi: U \to \real^n$ durch $\varphi(x) := (x, f(x))$, das heißt - \[ \varphi(x) = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ f(x) \end{pmatrix}. \] + \item Graphen im $\real^n$. Sei $U \subset \real^{n-1}$ offen und $f\colon U \to \real$ stetig differenzierbar. Definiere $\varphi\colon U \to \real^n$ durch $\varphi(x) = (x, f(x))$, das heißt + \[ \varphi(x) := \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ f(x) \end{pmatrix}. \] Dann ist $\varphi$ stetig differenzierbar und $\varphi(U) = \mathrm{graph}(f)$; $\partial_i \varphi(x) = \vec{e}_i + \partial_i f(x) \vec{e}_n$. \[ \begin{aligned} (g_\varphi)_{ij} &= \partial_i \varphi \cdot \partial_j \varphi \\ @@ -175,18 +175,18 @@ \subsubsection{Satz} \subsubsection{Definition} Sei $M \subset \real^n$. \begin{itemize} - \item $M$ heißt \emph{Untermannigfaltigkeit} von $\real^n$ $:\Leftrightarrow$ Für jedes $y \in M$ existiert eine Umgebung $V \subset \real^n$ von $y$, eine offene Menge $U \subset \real^n$ und eine Immersion $\varphi: U \to \real^n$, sodass $\varphi: U \to M \cap V$ ein Homöomorphismus ist. + \item $M$ heißt $k$-dimensionale \emph{Untermannigfaltigkeit} (UM) von $\real^n$ $:\Leftrightarrow$ Für jedes $y \in M$ existiert eine Umgebung $V \subset \real^n$ von $y$, eine offene Menge $U \subset \real^k$ und eine Immersion $\varphi\colon U \to \real^n$, sodass $\varphi\colon U \to M \cap V$ ein Homöomorphismus ist. - Man nennt dann $\varphi: U \to M \cap V$ eine \emph{lokale Parametrisierung} von $M \cap V$ (oder von $M$ nahe $y$). + Man nennt dann $\varphi\colon U \to M \cap V$ eine \emph{lokale Parametrisierung} von $M \cap V$ (oder von $M$ nahe $y$). Für jedes $z \in M \cap V$ nennt man $\varphi^{-1}(z)$ die \emph{lokalen Koordinaten} von $z$ unter $\varphi$. - \item Der \emph{Tangentialraum} an $M$ im Punkt $y = \varphi(x)$ ist der $k$-dimensionale Vektorraum $T_y M := T_y \varphi = \spn \{ \partial_1 \varphi(x), \ldots, \partial_k \varphi(x) \}$. + \item Der \emph{Tangentialraum} an $M$ im Punkt $y = \varphi(x)$ ist der $k$-dimensionale Vektorraum $T_y M := T_x \varphi = \spn \{ \partial_1 \varphi(x), \ldots, \partial_k \varphi(x) \}$. Die Elemente von $T_y M$ heißen \emph{Tangentialvektoren} an $M$ im Punkt $y$. \end{itemize} \begin{rmrk} - Für alle $y \in M$ ist $T_y M$ wohldefiniert: Wenn $\varphi_i: U_i \to V \cap M$ ($i = 1,2$) eine lokale Parametrisierung nahe $y \in M \cap V$ sind, dann + Für alle $y \in M$ ist $T_y M$ wohldefiniert: Wenn $\varphi_i\colon U_i \to V \cap M$ ($i = 1,2$) eine lokale Parametrisierung nahe $y \in M \cap V$ sind, dann \[ T_{\varphi^{-1}_1(y)} \varphi_1 = T_{\varphi^{-1}_2(y)} \varphi_2. \] \end{rmrk} @@ -201,12 +201,12 @@ \subsubsection{Definition} \textbf{Beispiele für Untermannigfaltigkeiten.} \begin{enumerate} - \item Wenn $U \subset \real^k$ offen und $\varphi: U \to \real^n$ eine \emph{injektive} Immersion ist und $V \subset U$, so dass $V \subset u$, dann ist $\varphi(V) \subset \real^k$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit. + \item Wenn $U \subset \real^k$ offen und $\varphi\colon U \to \real^n$ eine \emph{injektive} Immersion ist und $V \subset U$, so dass $\overline V \subset U$, dann ist $\varphi(V) \subset \real^k$ eine $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit. \begin{itemize} \item Wenn $\varphi$ nicht injektiv ist, dann ist $V$ im Allgemeinen keine Untermannigfaltigkeit. \item $\varphi(U)$ ist im Allgemeinen auch keine Untermannigfaltigkeit, siehe \ref{offen}. \end{itemize} - \item Sphären $\partial B_r(x)$ sind $n-1$-dimensionale Untermannigfaltigkeiten, weil $B_r(x) \subset \real^n$ eine $C^1$-berandete Menge ist. + \item Sphären $\partial B_r(x)$ sind $(n-1)$-dimensionale Untermannigfaltigkeiten, weil $B_r(x) \subset \real^n$ eine $C^1$-berandete Menge ist. \item \end{enumerate} @@ -220,36 +220,38 @@ \subsubsection{Satz} \begin{thm} Sei $M \subset \real^n$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: \begin{enumerate} - \item $M$ ist $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit. - \item Für alle $y \in M$ existiert eine Umgebung $V \subset \real^n$, ein offenes $W \subset \real^n$ und ein $f \in C^1(W, \real^{n-k})$, so dass mit $x' = (x_1, \ldots, x_k)$: - \[ M \cap V = \{ \big(x_1, \ldots, x_k, f_1(x'), \ldots, f_{n-k}(x') \big) : x' \in W \}. \] + \item (Definition) $M$ ist $k$-dimensionale Untermannigfaltigkeit. + \item (Funktionsgraph von Stetiger Funktion) Für alle $y \in M$ existiert eine Umgebung $V \subset \real^n$, ein offenes $W \subset \real^k$ und ein $f \in C^1(W, \real^{n-k})$, so dass ($x' = (x_1, \ldots, x_k)$): + \[ M \cap V = \left\{ \begin{pmatrix}x_1, \ldots, x_k, f_1(x'), \ldots, f_{n-k}(x') \end{pmatrix} : x' \in W \right\}. \] Für $k = n-1$ ist das der Graph von $f$ - \item Für alle $y \in M$ existiert eine Umgebung $V \in \real^n$ und ein stetig differenzierbares $F:V \to \real^{n-k}$; $\nabla F(x)$ hat Rang $n-k$ für jedes $x \in V \cap M$ und + \item (Nullstellengebilde) Für alle $y \in M$ existiert eine Umgebung $V \in \real^n$ und ein stetig differenzierbares $F:V \to \real^{n-k}$; $\nabla F(x)$ hat Rang $n-k$ für jedes $x \in V \cap M$ und \[ V \cap M = \{ x \in V : F(x) = 0 \}. \] - \item Für alle $y \in M$ existiert eine Umgebung $V \subset \real^n$ und eine offene Menge $W \subset \real^n$ sowie ein $C^1$-Diffeomorphismus $\Phi: V \to W$, so dass - \[ \Phi(V \cap M) = \{ x \in W : x_{k+1} = \cdots = x_n = 0 \} = W \cap (\real^k \times \{ 0 \}), \] - wobei $\{ 0 \} \in \real^{n-k}$. + \item (plattmachen) Für alle $y \in M$ existiert eine Umgebung $V \subset \real^n$ und eine offene Menge $W \subset \real^n$ sowie ein $C^1$-Diffeomorphismus $\Phi\colon V \to W$, so dass + \[ \Phi(V \cap M) = \{ x \in W : x_{k+1} = \cdots = x_n = 0 \} = W \cap (\real^k \times \{ 0 \}^{n-k}), \] \end{enumerate} \end{thm} \begin{proof} \begin{itemize} - \item \textbf{1. $\Rightarrow$ 2.} Sei also $y \in M$ mit Umgebung $V \subset \real^n$, $U' \subset \real^k$ offen und $\varphi: U' \to \real^n$ eine Immersion, so dass $\varphi: U' \to M \cap V$ ein Homöomorphismus ist. Diese existieren nach der Definition der Untermannigfaltigkeit immer. Ohne Einschränkung\footnote{Evtl. nach Umnummerierung der $\varphi_i$} sei + \item \textbf{1. $\Rightarrow$ 2.} Sei also $y \in M$ mit Umgebung $V \subset \real^n$, $U' \subset \real^k$ offen und $\varphi\colon U' \to \real^n$ eine Immersion, so dass $\varphi\colon U' \to M \cap V$ ein Homöomorphismus ist. Diese existieren nach der Definition der Untermannigfaltigkeit. Ohne Einschränkung\footnote{Evtl. nach Umnummerierung der $\varphi_i$} sei \[ \pdiff{ (\varphi_1, \ldots, \varphi_k) }{ (x_1, \ldots, x_k) } \] - an der Stelle $z := \varphi^{-1}(y)$ invertierbar. Das heißt mit $\tilde{\varphi}:( \varphi_1, \ldots \varphi_k)$ ist $\nabla \tilde{\varphi}(z)$ invertierbar. Aus dem Satz über die Umkehrfunktion folgt nach Verkleinerung von $U'$, dass eine offene Menge $W \subset \real^k$ existiert, so dass $\tilde{\varphi}: U' \to W$ ein $C^1$-Diffeomorphismus ist. Definiere - \[ \tilde{f} :=\varphi \circ \tilde{\varphi}^{-1} : W \to \real^n. \] + an der Stelle $z := \varphi^{-1}(y)$ invertierbar. Das heißt mit $\tilde{\varphi}:=( \varphi_1, \ldots, \varphi_k)$ ist $\nabla \tilde{\varphi}(z)$ invertierbar. Aus dem Satz über die Umkehrfunktion folgt nach Verkleinerung von $U'$, dass eine offene Menge $W \subset \real^k$ existiert, so dass $\tilde{\varphi}\colon U' \to W$ ein $C^1$-Diffeomorphismus ist. Definiere + \[ \tilde{f} :=\varphi \circ \tilde{\varphi}^{-1} \colon W \to \real^n. \] Dann ist $\tilde{f}_i(x) = x_i$ für $i = 1, \ldots, k$. Also hat $f := (\tilde{f}_{k+1}, \ldots, \tilde{f}_{n-k})$ die gewünschte Eigenschaft. - \item \textbf{2. $\Rightarrow$ 3.} Seien $V \subset \real^n$ und $U \subset \real^k$ offen und $f = (f_1, \ldots, f_{n-k}): U \to \real^{n-k}$ in $C^1$, so dass $M \cap V = \{ (x', f_1(x'), \ldots, f_{n-k}(x') ) : x' \in U \}$. Definiere $F: V \to \real^{n-k}$ durch - \[ F(x) := ( x_{k+1} - f_1(x'), \ldots, x_n - f_{n-k}(x') ). \] + \item \textbf{2. $\Rightarrow$ 3.} Seien $V \subset \real^n$ und $U \subset \real^k$ offen und $f = (f_1, \ldots, f_{n-k})\colon U \to \real^{n-k}$ in $C^1$, so dass $M \cap V = \{ (x', f_1(x'), \ldots, f_{n-k}(x') ) : x' \in U \}$. Definiere $F\colon V \to \real^{n-k}$ durch + \[ + F(x) := \begin{pmatrix} x_{k+1} \\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} + - \begin{pmatrix} f_1(x')\\ \vdots\\ f_{n-k}(x') \end{pmatrix} + \] Dann ist \[ M \cap V = \{ x \in V : F(x) = 0 \} \] und da $(\partial_{k+1} F, \ldots, \partial_n F)$ invertierbar\footnote{Sogar die Einheitsmatrix, da in der $j$-ten Komponente nur $x_j$ vorkommt und $x'$ nur $x_1$ bis $x_k$ enthält.} ist, hat $\nabla F$ Rang $n-k$. - \item \textbf{3. $\Rightarrow$ 4.} Sei $V \subset \real^n$ Umgebung von $y \in M$ und $F \in C^1(V, \real^{n-k})$, so dass $M \cap V = \{ x \in V : F(x)=0 \} \cap V$. Ohne Einschränkung seien $\partial_{k+1} F(y), \ldots, \partial_n F(y)$ linear unabhängig. Definiere $\Phi: V \to \real^n$ durch + \item \textbf{3. $\Rightarrow$ 4.} Sei $V \subset \real^n$ Umgebung von $y \in M$ und $F \in C^1(V, \real^{n-k})$, so dass $M \cap V = \{ x \in V : F(x)=0 \} \cap V$. Ohne Einschränkung seien $\partial_{k+1} F(y), \ldots, \partial_n F(y)$ linear unabhängig. Definiere $\Phi\colon V \to \real^n$ durch \[ \Phi(x) := \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_k \\ F_1(x) \\ \vdots \\ F_{n-k}(x) \end{pmatrix}. \] - Dieses $\Phi$ hat die gewünschte Eigenschaft. - \item \textbf{4. $\Rightarrow$ 1.} Sei $\Phi: V \to W$ wie in 4. gegeben. Dann ist - \[ \varphi(x_1, \ldots, x_k) : \Phi^{-1}( x_1, \ldots, x_k, \underbrace{0 \ldots, 0}_{n-k} ) \] - eine lokale Parametrisierung von $M$ nahe $y^{n-k}$. \qedhere + Dieses $\Phi$ hat die gewünschte Eigenschaft.%braucht es nicht noch 1.2? + \item \textbf{4. $\Rightarrow$ 1.} Sei $\Phi\colon V \to W$ wie in 4. gegeben. Dann ist + \[ \varphi(x_1, \ldots, x_k) := \Phi^{-1}( x_1, \ldots, x_k, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n-k} ) \] + eine lokale Parametrisierung von $M$ nahe $y$. \qedhere \end{itemize} \end{proof}