From 2052c95440f4a10830749697f3d86b34a84fa8e3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: axapta Date: Wed, 11 Jan 2017 16:05:07 +0100 Subject: [PATCH] GDIM: some intermediate steps --- gdim/11-masstheorie.tex | 18 +++++++++++------- gdim/skript_gdim.tex | 9 +++++---- 2 files changed, 16 insertions(+), 11 deletions(-) diff --git a/gdim/11-masstheorie.tex b/gdim/11-masstheorie.tex index 4292724..0331693 100644 --- a/gdim/11-masstheorie.tex +++ b/gdim/11-masstheorie.tex @@ -259,7 +259,7 @@ \subsubsection{Integrierbare Funktionen} \begin{proof} Sei $\int |f| \diffop \mu < \infty$. Da $0 \le f_\pm \le |f|$ folgt aus der Monotonie auf nichtnegativen Funktionen, dass $\int f_\pm \le \int |f| < \infty$. - Umgekehrt sei $f$ integrierbar, das heißt $\int f_\pm < \infty$. Da $|f| = f_+ + f_-$ folgt aus der Linearität $\int |f| < \infty$. + Umgekehrt sei $f$ integrierbar, das heißt $\int f_\pm < \infty$. Da $|f| = f_+ + f_-$ folgt aus der Linearität $\int |f| = \int f_+ + \int f_i < \infty$. \end{proof} \end{rmrk} @@ -326,7 +326,7 @@ \subsubsection{Riemann vs Lebesgue}\label{sect:riemann-lebesgue} Ohne Einschränkung sei $\varphi_0 \le \varphi_1 \le \ldots$ und $\psi_0 \ge \psi_1 \ge \ldots$. Aber jede Treppenfunktionen ist Borel-messbar und Lebesgue-integrierbar und ihr Riemann- und Lebesgue-Integral stimmen überein, da $\lebesgue^1( (a,b) ) = b - a$. Wegen Satz 3.1 und ($\circ$) sind auch die punktweisen Grenzwerte $\varphi := \lim \varphi_k$ und $\psi := \lim \psi_k$ integrierbar und Borel, und - \[ \int_{[a,b]} \varphi \diffop \lebesgue^1 = \lim \int_{[a,b]} \varphi_k \diffop \lebesgue = \lim \int_a^b \varphi_k = \int_a^b f. \] + \[ \int_{[a,b]} \varphi \diffop \lebesgue^1 \stackrel{\mathrm{3.1}}= \lim_{k\to\infty} \int_{[a,b]} \varphi_k \diffop \lebesgue = \lim_{k\to\infty} \sum_{i=1}^{m_k} c_i^{(k)} \mu \left(A_i^{(k)}\right)= \lim_{k\to\infty} \sum_{i=1}^{m_k} c_i^{(k)} \left(a_i^{(k)}-b_i^{(k)}\right) = \]\[ \lim_{k\to\infty} \int_a^b \varphi_k \stackrel{({\circ})}= \int_a^b f. \] Analog für $\psi$. Da $\psi \ge \varphi$ also \[ \int | \psi - \varphi | \diffop \lebesgue^1 = \int (\psi - \varphi) \diffop \lebesgue^1 = \int \psi \diffop \lebesgue^1 - \int \varphi \diffop \lebesgue^1 = 0. \] Also ist $\varphi = \psi$ $\lebesgue^1$-integrierbar fast überall wegen Satz 2.6, also ist $\psi = f = \varphi$ $\lebesgue^1$-integrierbar fast überall, weil ja $\varphi \le f \le \psi$. @@ -415,10 +415,14 @@ \subsubsection{Differenzierbare Abhängigkeit} \begin{proof} Sei $t \in I$ fest und $h \ne 0$, so dass $t+h \in I$. Definiere \[ F_h(x) := \rez{h}( f(x, t+h) - f(x,t) ). \] - Nach dem Mittelwertsatz existiert $\Theta \in [0,1]$, so dass - \[ |F_h(x)| = \left| \pdiff{f}{t} (x, t + \Theta h) \right| \le F(x) \] - wegen 3. für alle $x \in X$. Aufgrund der Differenzierbarkeit von $f(x, \cdot)$ konvergiert $F_h(x) \to \pdiff{f}{t}(x,t)$ für alle $x \in X$ (mit $h \to 0$). Also folgt wegen majorierter Konvergenz - \[ \int_X \pdiff{f}{t}(x,t) \diffop \mu(x) = \lim_{h \to 0} \int_X F_h \diffop \mu = g'(t). \qedhere \] + Nach dem Mittelwertsatz existiert $\Theta \in [0,1]$, so dass: + \[ |F_h(x)| = \left| \pdiff{f}{t} (x, t + \Theta h) \right| \stackrel{\mathrm{3.}}\le F(x) \] + Für alle $x \in X$. Aufgrund der Differenzierbarkeit von $f(x, \cdot)$ konvergiert $F_h(x) \to \pdiff{f}{t}(x,t)$ für alle $x \in X$ (mit $h \to 0$). Also folgt wegen majorierter Konvergenz + \[ \int_X \pdiff{f}{t}(x,t) \diffop \mu(x) = \lim_{h \to 0} \int_X F_h \diffop \mu = + \lim_{h\to0} \int_X \frac{1}{h}(f(x,t+h)-f(x,t))\diffop\mu \]\[= + \lim_{h\to0} \int_X \frac{1}{h}f(x,t+h)\diffop\mu -\frac{1}{h}\int_Xf(x,t)\diffop\mu= + \left( \int_X f(x,t)\diffop\mu \right)' + = g'(t). \qedhere \] \end{proof} \clearpage @@ -542,7 +546,7 @@ \subsubsection{Transformationsformel} \begin{proof} Siehe [MINT]. Hier Spezialfall $U=V=\real^n$, $f = \chi_A$ und $\Phi(x) = a + Tx$ mit $T \in \realmat{n}{n}$ invertierbar. Aus Satz 5.4 folgt \begin{align*} - \int_{\real^n} f \diffop \lebesgue^n = \lebesgue^n(A) + \int_{\real^n} f \diffop \lebesgue^n = \int_{\real^n} \chi_A \diffop \lebesgue^n = \lebesgue^n(A) &= \lebesgue^n ( \Phi( \Phi^{-1}( A ) )) \\ &= | \det \nabla \Phi | \lebesgue^n( \Phi^{-1}(A) ) \\ &= | \det \nabla \Phi | \int_{\real^n} \underbrace{\chi_{\Phi^{-1}(A)}}_{\chi_A \cdot \Phi} \diffop \lebesgue^n \\ diff --git a/gdim/skript_gdim.tex b/gdim/skript_gdim.tex index 396cda4..fa77daa 100644 --- a/gdim/skript_gdim.tex +++ b/gdim/skript_gdim.tex @@ -192,11 +192,12 @@ \subsubsection{Definition} \begin{proof} Wähle $i \in \{1, \ldots, k\}$ und definiere $\gamma(t) := \varphi_1^{-1}(y) + t e_i$. - Da $U_1$ offen ist, existiert $\eps > 0$, sodass $\gamma( [-\eps, \eps] ) \subset U_1$. Definiere $\Gamma := \varphi_2^{-1} \circ \varphi_1 \circ \gamma$. In Satz 1.6 werden wir sehen: $\varphi_2^{-1} \circ \varphi_1: U_1 \to U_2$ ist ein $C^1$-Diffeomorphismus. Also ist $\Gamma \in C^1( (-\eps,\eps), \real^k)$ und wegen der Kettenregel - \[ \partial_1 \varphi_1 ( \varphi^{-1} (y) ) \overset{\text{Def. von } \varphi}{=} (\varphi_1 \circ \gamma) (0) \overset{\text{Def. von } \Gamma}{=} (\varphi_2 \circ \Gamma) (0) = \nabla \varphi_2( \varphi_2^{-1}(y) ) \Gamma'(0), \] - und die rechte Seite liegt im Bild von $\nabla \varphi_2( \varphi_2^{-1}(y) )$. + Da $U_1$ offen ist, existiert $\eps > 0$, sodass $\gamma( [-\eps, \eps] ) \subset U_1$. Definiere $\Gamma := \varphi_2^{-1} \circ \varphi_1 \circ \gamma$. In Satz 1.6 werden wir sehen: $\varphi_2^{-1} \circ \varphi_1\colon U_1 \to U_2$ ist ein $C^1$-Diffeomorphismus. Also ist $\Gamma \in C^1( (-\eps,\eps), \real^k)$ und wegen der Kettenregel gilt: - Der Beweis für $\partial_2 \varphi_1, \ldots, \partial_k \varphi_1$ verläuft analog. + \[ \begin{aligned}\partial_1 \varphi_1 ( \varphi_1^{-1} (y) ) &\stackrel{\text{Def. von } \varphi}{=} (\varphi_1 \circ \gamma)' (0) = (\varphi_2 \circ \varphi_2^{-1}\circ\varphi1\circ\gamma)'(0) \\ &\stackrel{\text{Def. von } \Gamma}{=} (\varphi_2 \circ \Gamma)' (0) = \nabla \varphi_2( \varphi_2^{-1}(y) ) \underbrace{\Gamma'(0)}_{\text{$\in \real$}}, \end{aligned}\] + und die rechte Seite liegt in $\Im \nabla \varphi_2( \varphi_2^{-1}(y)) = T_{\varphi_2^{-1}(y)}\varphi_2$. + + Der Beweis für $\partial_2 \varphi_2(\varphi_2^{-1}(y)), \ldots, \partial_k \varphi_k(\varphi_k^{-1}(y))$ verläuft analog. \end{proof} \textbf{Beispiele für Untermannigfaltigkeiten.}